Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
2y' + y = t - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear: . Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso transforma o lado esquerdo da equação na derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá . Para o lado direito, vamos resolver a integral por partes:
Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Então, temos:

Passo 6

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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