Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
. Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma o lado esquerdo da equação na derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá
. Para o lado direito, vamos resolver a integral por partes:
Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Então, temos:
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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