Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de Laplace, que é , definida na região onde e variam entre 0 e 1. Além disso, temos condições de contorno específicas: é zero nas bordas , , , e . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Vamos assumir que a solução u(x, y) = X(x) Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de X''(x) Y(y) + X(x) Y''(y) = 0 e outra que depende apenas de X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0 :
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a duas equações separadas, cada uma igual a uma constante negativa, digamos .
Passo 3
Portanto, obtemos duas equações diferenciais ordinárias:
Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
Y''(y) - lambda Y(y) = 0
Para :
Passo 4
Agora, aplicamos as condições de contorno em Xn(x) = sin(n pi x) . Sabemos que , então . Essa é uma situação típica de problemas de autovalores, onde buscamos soluções não-triviais. As soluções para que satisfazem essas condições são os senos:
com , onde é um número inteiro positivo.
Passo 5
Com Y''(y) - (n pi)^2 Y(y) = 0 , resolvemos a equação para Yn(y) = An cosh(n pi y) + Bn sinh(n pi y) :
A solução geral dessa equação é:
Passo 6
Agora, usamos a condição de contorno em Xn(x) Yn(1) = sin(n pi x) [An cosh(n pi) + Bn sinh(n pi)] = 0 , onde An cosh(n pi) + Bn sinh(n pi) = 0 . Então:
Para que isso seja válido para qualquer , temos que:
O que implica .
Passo 7
Simplificando, podemos escrever Yn(y) = Bn [sinh(n pi y) - tanh(n pi) cosh(n pi y)] apenas em termos de Yn(y) = Bn sinh(n pi (1 - y)) :
Mas, para simplificar ainda mais, usamos propriedades das funções hiperbólicas:
Passo 8
Portanto, a solução geral é:
u(x, y) = sumn=1^infty Bn sin(n pi x) sinh(n pi (1 - y))
Agora, usamos a condição de contorno em u(x,0) = sumn=1^infty Bn sin(n pi x) sinh(n pi) = x^2 - x , onde :
Passo 9
Para encontrar os coeficientes x^2 - x = sumn=1^infty 2 Bn sinh(n pi)1 sin(n pi x) , expandimos Bn = 2sinh(n pi) integral0^1 (x^2 - x) sin(n pi x) , dx em uma série de senos:
Portanto, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier: