Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de Laplace, que é , definida na região onde e variam entre 0 e 1. Além disso, temos condições de contorno específicas: é zero nas bordas , , , e . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a duas equações separadas, cada uma igual a uma constante negativa, digamos .
Passo 3
Portanto, obtemos duas equações diferenciais ordinárias:
Para :
Para :
Passo 4
Agora, aplicamos as condições de contorno em . Sabemos que , então . Essa é uma situação típica de problemas de autovalores, onde buscamos soluções não-triviais. As soluções para que satisfazem essas condições são os senos:
com , onde é um número inteiro positivo.
Passo 5
Com , resolvemos a equação para :
A solução geral dessa equação é:
Passo 6
Agora, usamos a condição de contorno em , onde . Então:
Para que isso seja válido para qualquer , temos que:
O que implica .
Passo 7
Simplificando, podemos escrever apenas em termos de :
Mas, para simplificar ainda mais, usamos propriedades das funções hiperbólicas:
Passo 8
Portanto, a solução geral é:
Agora, usamos a condição de contorno em , onde :
Passo 9
Para encontrar os coeficientes , expandimos em uma série de senos:
Portanto, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier:
Passo 10
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 11
Finalmente, substituindo de volta na série, temos a solução: