O seguinte sistema tridiagonal deve ser resolvido como parte de um algoritmo maior (CrankNicolson) para resolver equações diferenciais parciais:
Use o algoritmo de Thomas para obter uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema tridiagonal que apareceu como parte do algoritmo Crank-Nicolson para equações diferenciais parciais. A gente vai usar o Algoritmo de Thomas, que é uma técnica eficiente para resolver sistemas desse tipo. Primeiro, vamos identificar os componentes do nosso sistema:
  • Diagonal principal: todos os elementos na diagonal central são iguais a 2,01475.
  • Diagonal inferior e superior: os elementos nessas diagonais são -0,020875.
  • Vetor do lado direito: [4,175; 0; 0; 2,0875]
Vamos precisar desses valores para aplicar o algoritmo passo a passo.

Passo 2

O Algoritmo de Thomas funciona em duas etapas principais: eliminação direta e substituição regressiva. Na eliminação direta, a ideia é transformar a matriz original em uma forma mais simples, onde a diagonal inferior fique com zeros. Para isso, vamos calcular os novos coeficientes. Vamos começar com a primeira equação:
Não precisamos modificar a primeira equação ainda, então seguimos para a segunda.

Passo 3

Agora, ajustamos a segunda linha para eliminar o termo -0,020875 que está abaixo da diagonal principal. Para isso, calculamos um fator de eliminação:
Multiplicamos a primeira equação por e somamos à segunda equação:
Após a operação, atualizamos os coeficientes da segunda equação.

Passo 4

Repetimos o processo para a terceira e quarta equações. Calculamos os fatores de eliminação e e ajustamos as equações correspondentes para eliminar os termos abaixo da diagonal principal. Isso simplifica o sistema e prepara para a substituição regressiva.

Passo 5

Com a matriz agora em uma forma triangular superior, começamos a resolver de baixo para cima. Primeiro, resolvemos para usando a última equação ajustada. Em seguida, substituímos esse valor nas equações acima para encontrar , depois e finalmente .

Resposta

Após seguir todos os passos do Algoritmo de Thomas, encontramos os valores das variáveis:

Exercícios relacionados

Determine uma solução para o problema
Sejam constantes e uma função contínua com derivada contínua por partes em e que satisfaz . Use separação de variáveis para resolver o problema de fronteira
Se 2 é par então (3 é par ou ).
Se ( 7 é par e ) então 3 é par.