O seguinte sistema tridiagonal deve ser resolvido como parte de um algoritmo maior (CrankNicolson) para resolver equações diferenciais parciais:
Use o algoritmo de Thomas para obter uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema tridiagonal que apareceu como parte do algoritmo Crank-Nicolson para equações diferenciais parciais. A gente vai usar o Algoritmo de Thomas, que é uma técnica eficiente para resolver sistemas desse tipo. Primeiro, vamos identificar os componentes do nosso sistema:
Diagonal principal: todos os elementos na diagonal central são iguais a 2,01475.
Diagonal inferior e superior: os elementos nessas diagonais são -0,020875.
Vetor do lado direito: [4,175; 0; 0; 2,0875]
Vamos precisar desses valores para aplicar o algoritmo passo a passo.
Passo 2
O Algoritmo de Thomas funciona em duas etapas principais: eliminação direta e substituição regressiva. Na eliminação direta, a ideia é transformar a matriz original em uma forma mais simples, onde a diagonal inferior fique com zeros. Para isso, vamos calcular os novos coeficientes. Vamos começar com a primeira equação:
Não precisamos modificar a primeira equação ainda, então seguimos para a segunda.
Passo 3
Agora, ajustamos a segunda linha para eliminar o termo -0,020875 que está abaixo da diagonal principal. Para isso, calculamos um fator de eliminação:
Multiplicamos a primeira equação por e somamos à segunda equação:
Após a operação, atualizamos os coeficientes da segunda equação.
Passo 4
Repetimos o processo para a terceira e quarta equações. Calculamos os fatores de eliminação e e ajustamos as equações correspondentes para eliminar os termos abaixo da diagonal principal. Isso simplifica o sistema e prepara para a substituição regressiva.
Passo 5
Com a matriz agora em uma forma triangular superior, começamos a resolver de baixo para cima. Primeiro, resolvemos para usando a última equação ajustada. Em seguida, substituímos esse valor nas equações acima para encontrar , depois e finalmente .
Resposta
Após seguir todos os passos do Algoritmo de Thomas, encontramos os valores das variáveis: