(Valor: 6 pontos) - Considere a EDO t y''(t) + y'(t) + t y(t) = 0 e seja Y(s) = L(y(t))(s). Calcule a Transformada de Laplace da EDO e mostre que
Y(s) = C / raiz(s^2 + 1)
Você pode achar útil usar a propriedade:
d/ds F(s) = -L(t f(t)(s)), onde F(s) = L(f(t)(s))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
O desafio aqui é calcular a Transformada de Laplace dessa EDO e mostrar que a solução fica assim:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades da Transformada de Laplace, especialmente aquela que relaciona a derivada em relação a com a Transformada de funções multiplicadas por . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da EDO. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma função é:
Agora, aplicando a Transformada em cada termo:
  1. Para , usamos a propriedade dada:
  1. Para , sabemos que:
  1. Para , novamente usamos a propriedade:
Então, substituindo esses resultados na EDO transformada, teremos uma equação em termos de .

Passo 3

Vamos montar a equação transformada com base nas transformadas dos termos:
Assumindo condições iniciais nulas ( e ) para simplificar, a equação fica:
Calculando a derivada:
Simplificando os termos:
Fatorando :

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, temos uma equação diferencial para . Essa é uma equação linear que pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis.
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando para resolver para :
Podemos chamar de uma nova constante , então:

Resposta

A Transformada de Laplace da EDO é:

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