(Valor: 6 pontos) - Considere a EDO e seja . Calcule a Transformada de Laplace da EDO e mostre que
Você pode achar útil usar a propriedade:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
O desafio aqui é calcular a Transformada de Laplace dessa EDO e mostrar que a solução fica assim:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades da Transformada de Laplace, especialmente aquela que relaciona a derivada em relação a com a Transformada de funções multiplicadas por . Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da EDO. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma função é:
Agora, aplicando a Transformada em cada termo:
Para , usamos a propriedade dada:
Para , sabemos que:
Para , novamente usamos a propriedade:
Então, substituindo esses resultados na EDO transformada, teremos uma equação em termos de .
Passo 3
Vamos montar a equação transformada com base nas transformadas dos termos:
Assumindo condições iniciais nulas ( e ) para simplificar, a equação fica:
Calculando a derivada:
Simplificando os termos:
Fatorando :
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, temos uma equação diferencial para . Essa é uma equação linear que pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis.
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando para resolver para :