Determine a soluçāo do PVI dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial do tipo linear de primeira ordem:
com a condição inicial
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Nossa equação está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante
. Esse fator é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica o lado esquerdo para a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, então:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Passo 7
Voltando à equação original após a integração:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é: