Determine a soluçāo do PVI dado por
y' + 2y = tc^{-2t}, y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial do tipo linear de primeira ordem:
com a condição inicial . Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Nossa equação está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante . Esse fator é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica o lado esquerdo para a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, vamos simplificar a expressão . Sabemos que , então:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:

Passo 7

Voltando à equação original após a integração:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:

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