Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo lineares de primeira ordem:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO usando o método do fator integrante. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão dessas equações e como aplicar o fator que vai simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui,
e
. Essa identificação é importante porque o método do fator integrante se baseia nesses termos para encontrar uma solução.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada em toda a equação, torna o lado esquerdo uma derivada exata. A fórmula para o fator integrante
é:
Vamos calcular:
Como
geralmente positivo no contexto, simplificamos para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Simplificando:
Passo 6
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando as potências:
Resposta
A solução geral da EDO é
Exercícios relacionados
Determine os valores de
e
em
para
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Determine a solução do PVI:
.
Usando o teste de D (i)