O divergente de um campo vetorial é um campo escalar definido por . Se é um campo vetorial, então calcule a integral tripla , onde é o sólido definido por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral tripla do divergente de um campo vetorial dentro de um sólido específico. O conteúdo principal aqui é o teorema do divergente, que relaciona integrais de campo vetorial com integrais sobre regiões. Vamos precisar entender como calcular o divergente de um campo vetorial e depois integrar isso sobre o sólido definido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o divergente de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial , o divergente é dado por:
Isso basicamente nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente do campo vetorial dado:
Calculando cada derivada parcial:
Somando tudo:
Então, o divergente é uma constante igual a 6.

Passo 4

A gente precisa calcular a integral tripla da divergente sobre o sólido :
Como o divergente é constante, isso simplifica para:
Agora, vamos encontrar o volume de .

Passo 5

O sólido é a parte da esfera unitária que está no primeiro octante (onde , , ).
Sabemos que o volume total de uma esfera de raio 1 é:
Como estamos considerando apenas o primeiro octante, que é 1/8 da esfera, o volume de é:

Passo 6

Agora, voltando à integral tripla:
Então, a integral tripla é igual a .

Resposta

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