O divergente de um campo vetorial F=(P, Q, R) é um campo escalar definido por div(F)=nabla cdot F=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z. Se F(x, y, z)=(3 x+y+z, x+4 y+3 z, 2 x-2 y-z) é um campo vetorial, então calcule a integral tripla integral duplaE integral div(F) d V, onde E é o sólido definido por E=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1, x >= 0, y >= 0, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral tripla do divergente de um campo vetorial dentro de um sólido específico. O conteúdo principal aqui é o teorema do divergente, que relaciona integrais de campo vetorial com integrais sobre regiões. Vamos precisar entender como calcular o divergente de um campo vetorial e depois integrar isso sobre o sólido definido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o divergente de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial div(F) = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z , o divergente é dado por:
Isso basicamente nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente do campo vetorial dado:
F(x, y, z) = (3x + y + z, , x + 4y + 3z, , 2x - 2y - z)
Calculando cada derivada parcial:
partial Ppartial x = partialpartial x(3x + y + z) = 3
partial Qpartial y = partialpartial y(x + 4y + 3z) = 4
partial Rpartial z = partialpartial z(2x - 2y - z) = -1
Somando tudo:
div(F) = 3 + 4 - 1 = 6
Então, o divergente é uma constante igual a 6.

Passo 4

A gente precisa calcular a integral tripla da divergente sobre o sólido integral triplaE div(F) , dV :
6 times Volume(E)
Como o divergente é constante, isso simplifica para:
Agora, vamos encontrar o volume de .

Passo 5

O sólido 43pi é a parte da esfera unitária Volume(E) = 18 times 43pi = 16pi que está no primeiro octante (onde , , ).
Sabemos que o volume total de uma esfera de raio 1 é:
Como estamos considerando apenas o primeiro octante, que é 1/8 da esfera, o volume de é:

Passo 6

Agora, voltando à integral tripla:
6 times 16pi = pi
Então, a integral tripla é igual a .

Resposta

Exercícios relacionados