O divergente de um campo vetorial
é um campo escalar definido por
. Se
é um campo vetorial, então calcule a integral tripla
, onde
é o sólido definido por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral tripla do divergente de um campo vetorial dentro de um sólido específico. O conteúdo principal aqui é o teorema do divergente, que relaciona integrais de campo vetorial com integrais sobre regiões. Vamos precisar entender como calcular o divergente de um campo vetorial e depois integrar isso sobre o sólido definido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o divergente de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial
, o divergente é dado por:
Isso basicamente nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente do campo vetorial dado:
Calculando cada derivada parcial:
Somando tudo:
Então, o divergente é uma constante igual a 6.
Passo 4
A gente precisa calcular a integral tripla da divergente sobre o sólido
:
Como o divergente é constante, isso simplifica para:
Agora, vamos encontrar o volume de
.
Passo 5
O sólido
é a parte da esfera unitária
que está no primeiro octante (onde
,
,
).
Sabemos que o volume total de uma esfera de raio 1 é:
Como estamos considerando apenas o primeiro octante, que é 1/8 da esfera, o volume de
é:
Passo 6
Agora, voltando à integral tripla:
Então, a integral tripla é igual a
.
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a região do primeiro quadrante formada pelas duas circunferências
e
Resolva a integral dupla abaixo, onde
é região delimitada pelo triângulo formado pelos pontos
e
:
Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.
Determine a solução dos PVIs abaixo e o comportamento assintótico da solução.
;