Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para as respectivas equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e três funções dadas. A equação é e as funções são , e . Nosso objetivo é ver se essas funções formam um conjunto fundamental de soluções para essa equação. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares, soluções de equações diferenciais e linearidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se cada uma das funções dadas realmente satisfaz a equação diferencial. Isso significa que, para cada função , devemos calcular as derivadas necessárias e substituir na equação para ver se ela se iguala a zero.
Função :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
    Substituindo na equação: . Viu? Igual a zero, então é solução.
Função :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
    Substituindo na equação: . Tá valendo! também é solução.
Função :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
    Substituindo na equação: . Show! também é solução.

Passo 3

Agora que sabemos que todas as três funções são soluções da equação, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Se forem, então formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos calcular o Wronskiano das funções.
O Wronskiano de três funções é dado por:
Vamos calcular isso para , e :
Calculando o determinante:
Como e (assumindo no domínio onde a equação está definida), o Wronskiano é diferente de zero. Isso significa que as funções são linearmente independentes.

Resposta

Sim, as funções , e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial .

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;
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