Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo, com valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema mecânico juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola forçado, onde a força que atua é um cosseno com frequência . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
A solução geral dessa equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos achar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é um cosseno, tentamos uma solução particular da forma:
Vamos derivar duas vezes e substituir na equação original para encontrar e .

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Comparando os coeficientes dos termos de e :
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular:

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e :
Primeira condição:
Dessa equação, temos:

Passo 8

Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando em :
Portanto:

Resposta

A solução do sistema mecânico é:

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