Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo, com valores iniciais:
ddotx+omega0^2 x=cos (omega t), x(0)=x0, dotx0=v0, omega^2 neq omega0^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema mecânico juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola forçado, onde a força que atua é um cosseno com frequência . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
ddotx + omega0^2 x = cos (omega t)
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
ddotx + omega0^2 x = 0
A solução geral dessa equação homogênea é:
xh(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos achar uma solução particular ( ddotx + omega0^2 x = cos (omega t) ) para a equação completa:
xp(t) = C cos(omega t) + D sin(omega t)
Como o lado direito é um cosseno, tentamos uma solução particular da forma:
Vamos derivar duas vezes e substituir na equação original para encontrar e .

Passo 5

Calculando as derivadas de dotxp(t) = -C omega sin(omega t) + D omega cos(omega t) :
ddotxp(t) = -C omega^2 cos(omega t) - D omega^2 sin(omega t)
- C omega^2 cos(omega t) - D omega^2 sin(omega t) + omega0^2 (C cos(omega t) + D sin(omega t)) = cos(omega t)
Substituindo na equação diferencial:
C (omega0^2 - omega^2) cos(omega t) + D (omega0^2 - omega^2) sin(omega t) = cos(omega t)
Simplificando:
C (omega0^2 - omega^2) = 1 Rightarrow C = 1omega0^2 - omega^2
Comparando os coeficientes dos termos de D (omega0^2 - omega^2) = 0 Rightarrow D = 0 e xp(t) = 1omega0^2 - omega^2 cos(omega t) :
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t) + 1omega0^2 - omega^2 cos(omega t)

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar x(0) = A cos(0) + B sin(0) + 1omega0^2 - omega^2 cos(0) = A + 1omega0^2 - omega^2 = x0 e A = x0 - 1omega0^2 - omega^2 :
Primeira condição:
Dessa equação, temos:

Passo 8

Segunda condição: dotx(t) = -A omega0 sin(omega0 t) + B omega0 cos(omega0 t) - omegaomega0^2 - omega^2 sin(omega t)
Primeiro, calculamos a derivada de dotx(0) = -A omega0 sin(0) + B omega0 cos(0) - omegaomega0^2 - omega^2 sin(0) = B omega0 = v0 :
B = v0omega0
Aplicando em :
Portanto:

Resposta

A solução do sistema mecânico é:
x(t) = ( x0 - 1omega0^2 - omega^2 ) cos(omega0 t) + v0omega0 sin(omega0 t) + 1omega0^2 - omega^2 cos(omega t)

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