Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo, com valores iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema mecânico juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola forçado, onde a força que atua é um cosseno com frequência
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
A solução geral dessa equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos achar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é um cosseno, tentamos uma solução particular da forma:
Vamos derivar
duas vezes e substituir na equação original para encontrar
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Comparando os coeficientes dos termos de
e
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular:
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
:
Primeira condição:
Dessa equação, temos:
Passo 8
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Aplicando em
:
Portanto:
Resposta
A solução do sistema mecânico é:
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