Quais das equações abaixo são autônomas de segunda ordem? .
(a) d^2y/dx^2 - 3x dy/dx + 5y = 0
(b) d²y/dx² - 3 dy/dx + 5y = 0
© d^2x/dx^2 - 5(dx/dt) + 3x = 0

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pergunta quais das equações apresentadas são autônomas de segunda ordem. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, especificamente das que são de segunda ordem e autônomas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação diferencial ser autônoma e analisar cada opção apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial autônoma. Uma equação diferencial é dita autônoma quando ela não depende explicitamente da variável independente. Ou seja, a equação envolve apenas a função desconhecida e suas derivadas, sem termos que contenham a variável independente.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das opções:
Opção (a):
Aqui, temos o termo , que envolve a variável independente . Como a equação depende explicitamente de , ela não é autônoma.
Opção (b):
Nesta equação, todos os termos envolvem a função e suas derivadas, sem nenhuma dependência direta de . Portanto, essa equação é autônoma.
Opção ©:
Aqui, parece haver uma confusão na notação, já que simplifica para 0, o que torna a equação inválida. Além disso, há uma mistura das variáveis e , o que complica ainda mais a análise. Por esses motivos, essa equação não pode ser considerada de forma clara como autônoma.

Resposta

Apenas a alternativa (b) é uma equação autônoma de segunda ordem.

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