Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
Mostre que a relação entre e , é dada por uma curva fechada.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial que descreve o movimento de uma partícula no eixo :
O objetivo é mostrar que a relação entre a velocidade (que é ) e a posição , com , forma uma curva fechada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e análise de sistemas dinâmicos, especialmente o que chamamos de “plano de fases”.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada em termos de . Sabemos que , e . Substituindo esses na equação original, temos:
Isso simplifica para:
Então, agora temos um sistema de equações de primeira ordem:

Passo 3

Para analisar a relação entre e , vamos eliminar o tempo . Podemos fazer isso dividindo por :
Isso nos dá uma equação diferencial ordinária que relaciona e :

Passo 4

Vamos separar as variáveis para integrar essa equação. Reescrevendo:
Multiplicando ambos os lados por para facilitar a integração:
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
No entanto, essa integração direta é complicada devido ao termo . Para simplificar, vamos procurar uma função de energia conservada ou uma função que nos permita integrar facilmente.

Passo 6

Observe que a equação original pode ser multiplicada por para obter:
Reescrevendo como :
Dividindo por (assumindo ):
Mas isso nos leva de volta à equação que já temos. Então, vamos tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos tentar encontrar uma função tal que sua derivada total em relação ao tempo seja zero, indicando uma curva fechada no plano de fases. Assumimos que:
Tomando a derivada de em relação ao tempo:
Substituindo e :
Simplificando:
O que confirma que , ou seja, é constante ao longo do tempo.

Passo 8

Logo, a equação define uma curva no plano de fases . Substituindo :
Essa equação representa uma curva fechada no plano , já que para , está definida e a soma dos termos quadráticos e logarítmicos garante que para valores fixos de , os pontos se fecham formando uma curva.

Resposta

A relação entre e , para , é dada pela curva fechada definida por:
onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Quais das equações abaixo são autônomas de segunda ordem? .
(a)
(b)
©
Resolva.
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade , sendo o coeficiente de natalidade e o de mortalidade. Desse modo, a variação da população é regida pela equação diferencial linear
Suponha que a população no instante seja .
Sendo , determine a população no instante .