Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Mostre que a relação entre
e
, é dada por uma curva fechada.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial que descreve o movimento de uma partícula no eixo
:
O objetivo é mostrar que a relação entre a velocidade
(que é
) e a posição
, com
, forma uma curva fechada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e análise de sistemas dinâmicos, especialmente o que chamamos de “plano de fases”.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada em termos de
. Sabemos que
, e
. Substituindo esses na equação original, temos:
Isso simplifica para:
Então, agora temos um sistema de equações de primeira ordem:
Passo 3
Para analisar a relação entre
e
, vamos eliminar o tempo
. Podemos fazer isso dividindo
por
:
Isso nos dá uma equação diferencial ordinária que relaciona
e
:
Passo 4
Vamos separar as variáveis para integrar essa equação. Reescrevendo:
Multiplicando ambos os lados por
para facilitar a integração:
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
No entanto, essa integração direta é complicada devido ao termo
. Para simplificar, vamos procurar uma função de energia conservada ou uma função que nos permita integrar facilmente.
Passo 6
Observe que a equação original pode ser multiplicada por
para obter:
Reescrevendo
como
:
Dividindo por
(assumindo
):
Mas isso nos leva de volta à equação que já temos. Então, vamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos tentar encontrar uma função
tal que sua derivada total em relação ao tempo seja zero, indicando uma curva fechada no plano de fases. Assumimos que:
Tomando a derivada de
em relação ao tempo:
Substituindo
e
:
Simplificando:
O que confirma que
, ou seja,
é constante ao longo do tempo.
Passo 8
Logo, a equação
define uma curva no plano de fases
. Substituindo
:
Essa equação representa uma curva fechada no plano
, já que para
,
está definida e a soma dos termos quadráticos e logarítmicos garante que para valores fixos de
, os pontos
se fecham formando uma curva.
Resposta
A relação entre
e
, para
, é dada pela curva fechada definida por:
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Quais das equações abaixo são autônomas de segunda ordem? .
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Resolva.
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante
seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade , sendo
o coeficiente de natalidade e
o de mortalidade. Desse modo, a variação da população
é regida pela equação diferencial linear
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
Suponha que a população no instante
seja
.
Sendo , determine a população no instante
.
Sendo