Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que você mandou! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O conteúdo here é equações diferenciais, especificamente equações exatas. Vamos precisar entender o que é uma equação exata e como aplicar isso pra encontrar a solução que satisfaz a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
A gente pode reescrever essa equação de uma forma que mostre que é uma equação exata. Para isso, vamos reorganizar os termos:
Rearranjando:
Aqui, identificamos
e
. Para verificar se é uma equação exata, a gente precisa checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar essa função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração. Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Agora, nossa função
fica:
Passo 4
Como a equação é exata, a solução geral é dada por:
Então, temos:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução que satisfaz a condição inicial dada é: