Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
d y/d x = (3 x^2 - y) / (x - 3 y^2), y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que você mandou! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O conteúdo here é equações diferenciais, especificamente equações exatas. Vamos precisar entender o que é uma equação exata e como aplicar isso pra encontrar a solução que satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
A gente pode reescrever essa equação de uma forma que mostre que é uma equação exata. Para isso, vamos reorganizar os termos:
Rearranjando:
Aqui, identificamos e . Para verificar se é uma equação exata, a gente precisa checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar essa função . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração. Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração. Agora, nossa função fica:

Passo 4

Como a equação é exata, a solução geral é dada por:
Então, temos:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial dada é:

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