Resolva as equações de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é assim:
. A matéria aqui envolve equações diferenciais não lineares, especificamente as equações de Bernoulli. Vamos precisar usar uma substituição para transformar essa equação em uma que seja mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar no formato padrão das equações de Bernoulli. Subtraímos
de ambos os lados:
Aqui, identificamos que
,
e
.
Passo 3
A equação de Bernoulli tem a forma geral:
Para resolver, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Como
, podemos reescrever isso como:
Passo 6
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
:
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 7
A equação agora fica:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Resolva.
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Mostre que se a derivada de
for igual a -1 para todo
, então
com
em
, será solução da equação.
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Determine a relação entre
e
.
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.