Resolva as equações de Bernoulli.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é assim: . A matéria aqui envolve equações diferenciais não lineares, especificamente as equações de Bernoulli. Vamos precisar usar uma substituição para transformar essa equação em uma que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar no formato padrão das equações de Bernoulli. Subtraímos de ambos os lados:
Aqui, identificamos que , e .

Passo 3

A equação de Bernoulli tem a forma geral:
Para resolver, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Substituindo da equação original na expressão de :
Como , podemos reescrever isso como:

Passo 6

Agora temos uma equação linear de primeira ordem para :
Para resolver, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :

Passo 7

A equação agora fica:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 9

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Resolva.
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
Mostre que se a derivada de for igual a -1 para todo , então com em , será solução da equação.
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
Determine a relação entre e .
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.