Resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial de primeira ordem:
, onde
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a isolar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. A ideia é deixar tudo envolvendo
de um lado e tudo envolvendo
do outro. Então, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
- Do lado esquerdo, a integral de
é . - Do lado direito, a integral de
é .
Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponencial dos dois lados da equação:
Lembre-se que
, então:
Passo 6
Podemos simplificar
para uma nova constante
(já que
é uma constante,
também é uma constante). Além disso, como
pode ser positivo ou negativo, podemos absorver o valor absoluto na constante. Assim, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Determine a relação entre
e
.
Quais das equações abaixo são autônomas de segunda ordem? .
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Mostre que a relação entre
e
, é dada por uma curva fechada.