Resolva.
d/y = y x, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial de primeira ordem: , onde . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a isolar as variáveis y e x em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. A ideia é deixar tudo envolvendo y de um lado e tudo envolvendo x do outro. Então, dividimos ambos os lados por y:

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre y e x.

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
  • Do lado esquerdo, a integral de é .
  • Do lado direito, a integral de é .
Então, temos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para y, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponencial dos dois lados da equação:
Lembre-se que , então:

Passo 6

Podemos simplificar para uma nova constante K (já que C é uma constante, também é uma constante). Além disso, como y pode ser positivo ou negativo, podemos absorver o valor absoluto na constante. Assim, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante arbitrária.

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