Resolva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial de primeira ordem: , onde . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a isolar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. A ideia é deixar tudo envolvendo de um lado e tudo envolvendo do outro. Então, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
  • Do lado esquerdo, a integral de é .
  • Do lado direito, a integral de é .
Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponencial dos dois lados da equação:
Lembre-se que , então:

Passo 6

Podemos simplificar para uma nova constante (já que é uma constante, também é uma constante). Além disso, como pode ser positivo ou negativo, podemos absorver o valor absoluto na constante. Assim, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
Determine a relação entre e .
Quais das equações abaixo são autônomas de segunda ordem? .
(a)
(b)
©
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
Mostre que a relação entre e , é dada por uma curva fechada.