Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Determine a relação entre
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que descreve o movimento de uma partícula ao longo do eixo
:
Aqui,
representa a aceleração da partícula, e
é a velocidade
. O objetivo é encontrar uma relação entre a velocidade
e a posição
, considerando que
.
Passo 2
Vamos começar substituindo
na equação original. Assim, a aceleração
pode ser escrita como a derivada de
em relação ao tempo:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Agora, queremos relacionar
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Substituindo isso na nossa equação:
Passo 4
Vamos fatorar
nos termos que contêm
:
Agora, isolamos os termos:
Passo 5
Para facilitar a resolução, dividimos ambos os lados por
(lembrando que
e
):
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona
com
e
. Para resolver, podemos separar as variáveis. Rearranjamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Vamos reorganizar os termos para facilitar a integração:
Isso leva a:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E o lado direito requer conhecer a relação entre
e
para proceder com a integração completa. Contudo, chegamos a uma relação implícita entre
e
.
Resposta
A relação entre
e
é dada implicitamente por:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as equações de Bernoulli.
Resolva.
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Resolva.