Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
Determine a relação entre e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que descreve o movimento de uma partícula ao longo do eixo :
Aqui, representa a aceleração da partícula, e é a velocidade . O objetivo é encontrar uma relação entre a velocidade e a posição , considerando que .

Passo 2

Vamos começar substituindo na equação original. Assim, a aceleração pode ser escrita como a derivada de em relação ao tempo:
Substituindo na equação original:

Passo 3

Agora, queremos relacionar e . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Substituindo isso na nossa equação:

Passo 4

Vamos fatorar nos termos que contêm :
Agora, isolamos os termos:

Passo 5

Para facilitar a resolução, dividimos ambos os lados por (lembrando que e ):

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona com e . Para resolver, podemos separar as variáveis. Rearranjamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Vamos reorganizar os termos para facilitar a integração:
Isso leva a:

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E o lado direito requer conhecer a relação entre e para proceder com a integração completa. Contudo, chegamos a uma relação implícita entre e .

Resposta

A relação entre e é dada implicitamente por:
onde é a constante de integração.

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Resolva.