( 2,5 pontos) Considere as seguintes matrizes invertíveis:
A=[ccc 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 ], B=[ccc 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ], C=[lll 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 ]
(a) Encontre a expressão de X tal que B A X=C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a matriz que satisfaz a equação . A gente vai usar conceitos de matrizes invertíveis e como resolver equações matriciais. Vamos precisar das matrizes , e que já são dadas e saber como multiplicar e inverter matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Nosso objetivo é isolar . Para isso, a gente precisa “desfazer” a multiplicação por . Como é uma matriz invertível (produto de duas matrizes invertíveis é invertível), podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de .

Passo 3

Matematicamente, isso fica assim:
X = (B A)^-1 C
Isso significa que para encontrar , vamos primeiro multiplicar e , depois inverter o resultado, e finalmente multiplicar pela matriz .

Passo 4

Vamos calcular A= 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 , B= 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Seja:
B A = B cdot A = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2
Multiplicando por :

Passo 5

Vamos realizar a multiplicação:
B A = 1cdot1 + (-1)cdot1 + 0cdot0 & 1cdot1 + (-1)cdot(-1) + 0cdot1 & 1cdot1 + (-1)cdot1 + 0cdot2 0cdot1 + 1cdot1 + 0cdot0 & 0cdot1 + 1cdot(-1) + 0cdot1 & 0cdot1 + 1cdot1 + 0cdot2 0cdot1 + 0cdot1 + 1cdot0 & 0cdot1 + 0cdot(-1) + 1cdot1 & 0cdot1 + 0cdot1 + 1cdot2
Simplificando:
B A = 0 & 2 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2

Passo 6

Agora, precisamos calcular D = 0 & 2 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 . Vamos chamar de para facilitar:
Para encontrar , podemos usar a fórmula da matriz inversa ou métodos como a matriz adjunta. Vamos calcular determinante de e a adjunta.

Passo 7

Calculando o determinante de det(D) = 0 cdot (-1 cdot 2 - 1 cdot 1) - 2 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) = 0 - 2 cdot 2 + 0 = -4 :
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a adjunta de adj(D) = C11 & C21 & C31 C12 & C22 & C32 C13 & C23 & C33 . A adjunta é a matriz dos cofatores transposta. Calculando os cofatores:
C11 = (-1)^1+1 cdot det -1 & 1 1 & 2 = 1 cdot (-1 cdot 2 - 1 cdot 1) = -3
Calculando cada cofator:
C12 = (-1)^1+2 cdot det 1 & 1 0 & 2 = -1 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 0) = -2
C13 = (-1)^1+3 cdot det 1 & -1 0 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) = 1
C21 = (-1)^2+1 cdot det 2 & 0 1 & 2 = -1 cdot (2 cdot 2 - 0 cdot 1) = -4
C22 = (-1)^2+2 cdot det 0 & 0 0 & 2 = 1 cdot (0 cdot 2 - 0 cdot 0) = 0
C23 = (-1)^2+3 cdot det 0 & 2 0 & 1 = -1 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 0) = 0
C31 = (-1)^3+1 cdot det 2 & 0 -1 & 1 = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot (-1)) = 2
C32 = (-1)^3+2 cdot det 0 & 0 1 & 1 = -1 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 1) = 0
C33 = (-1)^3+3 cdot det 0 & 2 1 & -1 = 1 cdot (0 cdot (-1) - 2 cdot 1) = -2
adj(D) = -3 & -4 & 2 -2 & 0 & 0 1 & 0 & -2
Portanto:

Passo 9

Agora, a inversa de D^-1 = 1det(D) cdot adj(D) = 1-4 cdot -3 & -4 & 2 -2 & 0 & 0 1 & 0 & -2 = 34 & 1 & -12 12 & 0 & 0 -14 & 0 & 12 é dada por:

Passo 10

Finalmente, calculamos C = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 . Sabendo que:
X = 34 & 1 & -12 12 & 0 & 0 -14 & 0 & 12 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1
Multiplicando por :

Resposta

Após a multiplicação, a matriz X = 12 & 2 & 1 12 & 1 & 1 12 & -12 & 0 é:

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