Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente às equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Assim:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
e deixar
com os termos de
.
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções primitiva de cada lado:
Passo 4
Vamos integrar cada lado:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma única constante
.
Passo 5
Igualando as duas integrais e simplificando as constantes:
Podemos multiplicar toda a equação por 2 para simplificar:
Onde
é apenas outra constante.
Passo 6
Por fim, se quisermos isolar
, podemos aplicar o logaritmo natural:
Dividindo por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Faça um esboço da região delimitada pelas curvas
e
, e pelas retas
e
.
Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
e
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: