Faça um esboço da região delimitada pelas curvas y = x^2 - 2 x - 3 e y = 3 - x, e pelas retas x = 0 e x = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos um esboço da região delimitada pelas curvas e , além das retas verticais e . Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se encontram e como elas se comportam no intervalo de de 0 a 4.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo essa equação para encontrar os valores de :

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Portanto, as soluções são:

Passo 5

Como estamos limitando entre 0 e 4, descartamos . Então, o ponto de interseção relevante é . Para encontrar o valor de nesse ponto, usamos uma das equações, por exemplo, :
Então, temos o ponto de interseção em .

Passo 6

Agora, vamos identificar os valores de nas retas verticais e .
Para :
  • Na curva :
  • Na reta :
Portanto, em , as curvas estão em e .
Para :
  • Na curva :
  • Na reta :
Então, em , as curvas estão em e .

Passo 7

Vamos agora determinar qual curva está acima da outra no intervalo de a . Tomando um valor de teste, por exemplo, :
  • :
  • :
Como , a reta está acima da parábola nesse intervalo.
Para :
Aqui, a parábola está acima da reta.

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar a região delimitada:
  1. Desenhe as retas verticais e .
  2. Trace a parábola e a reta .
  3. Identifique os pontos de interseção em , , , e .
  4. A região delimitada estará entre e , entre as duas curvas e entre os valores de correspondentes.

Resposta

O esboço da região está entre as retas verticais e , com a reta acima da parábola no intervalo de a , e a parábola acima da reta de a . Os pontos de interseção são , , , e . Assim, a região delimitada forma uma área fechada entre essas curvas e retas.

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