Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: 2 y'' - 9 y' + 4 y = 0 ; y(0) = 1 e y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é , com as condições iniciais e . A matéria que estamos usando aqui é equações diferenciais de coeficientes constantes, e para resolver vamos precisar entender como achar as soluções dessas equações usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, as raízes são:

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, com :
Agora, derivamos para usar a segunda condição :
Aplicando :

Passo 6

Temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos :
Substituímos na segunda equação:
Agora, encontramos :

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: (y^2) dx + (x y + 1) dy = 0
Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais: (x+y+1) dx + (x - y^2 + 3) dy = 0
Encontre o limite, caso exista. Se não existir, justifique sua resposta.
lim x -infty 1-x-x^2-4 x^32 x^3+x^2-x-7
Encontre o limite, caso exista. Se não existir, justifique sua resposta.
lim x -infty x^3+3 x^2-8 xx^4-x^3+2