Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
, com as condições iniciais
e
. A matéria que estamos usando aqui é equações diferenciais de coeficientes constantes, e para resolver vamos precisar entender como achar as soluções dessas equações usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, as raízes são:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, com
:
Agora, derivamos
para usar a segunda condição
:
Aplicando
:
Passo 6
Temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos
:
Substituímos na segunda equação:
Agora, encontramos
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
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Determine a Solução para as seguintes equações diferenciais:
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Encontre o limite, caso exista. Se não existir, justifique sua resposta.
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