Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai usar Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm termos complicados como essa função degrau . Vamos precisar conhecer as propriedades das Transformadas de Laplace e como aplicá-las nas condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e é a função degrau que ativa a partir de .
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a Transformada de Laplace de .
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Passo 5
Agora, substituímos os valores das condições iniciais e :
Simplificando:
Passo 6
Agrupando os termos com :
Resolvendo para :
Passo 7
Vamos calcular a Transformada de Laplace do lado direito. Primeiro, notamos que , então podemos reescrever:
Passo 8
Agora, para a parte , usamos a propriedade do tempo retardado:
Aqui, e , então:
Passo 9
Substituindo de volta:
Passo 10
Agora, precisamos encontrar a Transformada inversa de Laplace para . Vamos separar em duas partes:
Para a segunda parte, usamos a propriedade de convolução ou tabelas de Transformadas para encontrar a inversa.
Após realizar os cálculos (detalhados para manter a simplicidade), obtemos: