Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai usar Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm termos complicados como essa função degrau . Vamos precisar conhecer as propriedades das Transformadas de Laplace e como aplicá-las nas condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e é a função degrau que ativa a partir de .

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:

Passo 5

Agora, substituímos os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 6

Agrupando os termos com :
Resolvendo para :

Passo 7

Vamos calcular a Transformada de Laplace do lado direito. Primeiro, notamos que , então podemos reescrever:

Passo 8

Agora, para a parte , usamos a propriedade do tempo retardado:
Aqui, e , então:

Passo 9

Substituindo de volta:

Passo 10

Agora, precisamos encontrar a Transformada inversa de Laplace para . Vamos separar em duas partes:
  1. Para a segunda parte, usamos a propriedade de convolução ou tabelas de Transformadas para encontrar a inversa.
Após realizar os cálculos (detalhados para manter a simplicidade), obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
Calcule : .
Calcule : .