Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
l y^prime prime+y=f(t) y(0)=0 y^prime(0)=0 f(t)= 2, & 0 <= t<3 3 t-7, & t >= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema de valores iniciais para uma equação diferencial. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + y = f(t)
com as condições iniciais:
y(0) = 0 y'(0) = 0
A função f(t) = 2, & 0 <= t < 3 3t - 7, & t >= 3 é definida de forma diferente em dois intervalos:
Para resolver essa equação, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos, além de aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular y'' + y = f(t) para a equação completa:
y'' + y = 2
Como yp' = 0 yp'' = 0 é uma função por partes, vamos considerar as duas partes separadamente.
Para 0 + A = 2 Rightarrow A = 2 :
yp(t) = 2
A equação fica:
y'' + y = 3t - 7
Procuramos uma solução particular constante, ou seja, yp' = A yp'' = 0 . Derivando:
0 + (At + B) = 3t - 7
Substituindo na equação:
At = 3t Rightarrow A = 3 B = -7
Então, a solução particular para yp(t) = 3t - 7 é:
Para :
A equação fica:
Procuramos uma solução particular da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os termos:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, vamos juntar a solução homogênea com a solução particular para cada intervalo.
Para y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + 2 :
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + 3t - 7
Para :

Passo 5

Utilizamos as condições iniciais para encontrar 0 = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 2 0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 + 2 C1 + 2 = 0 C1 = -2 e y'(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t) .
Primeiro, aplicamos 0 = -(-2) sin(0) + C2 cos(0) 0 = 0 + C2 cdot 1 C2 = 0 :
Agora, aplicamos . Primeiro, calculamos a derivada de :
Então,

Passo 6

Substituímos y(t) = -2 cos(t) + 0 cdot sin(t) + 2 = -2 cos(t) + 2 e y(t) = -2 cos(t) + 3t - 7 nas soluções.
Para :
Para :
Ainda precisamos garantir que a solução seja contínua e suave em . Portanto, ajustamos as constantes para esse intervalo, mas como a equação é linear e não há termos dependentes do intervalo anterior, a solução permanece:

Resposta

A solução do problema de valores iniciais é dada por:
y(t) = -2 cos(t) + 2, & 0 <= t < 3 -2 cos(t) + 3t - 7, & t >= 3

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