Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema de valores iniciais para uma equação diferencial. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + y = f(t)
com as condições iniciais:
y(0) = 0 y'(0) = 0
A função f(t) = 2, & 0 <= t < 3 3t - 7, & t >= 3 é definida de forma diferente em dois intervalos:
Para resolver essa equação, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos, além de aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular y'' + y = f(t) para a equação completa:
y'' + y = 2
Como yp' = 0 yp'' = 0 é uma função por partes, vamos considerar as duas partes separadamente.
Para 0 + A = 2 Rightarrow A = 2 :
yp(t) = 2
A equação fica:
y'' + y = 3t - 7
Procuramos uma solução particular constante, ou seja, yp' = A yp'' = 0 . Derivando:
0 + (At + B) = 3t - 7
Substituindo na equação:
At = 3t Rightarrow A = 3 B = -7
Então, a solução particular para yp(t) = 3t - 7 é:
Para :
A equação fica:
Procuramos uma solução particular da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os termos:
Então, a solução particular para é:
Passo 4
Agora, vamos juntar a solução homogênea com a solução particular para cada intervalo.
Ainda precisamos garantir que a solução seja contínua e suave em . Portanto, ajustamos as constantes para esse intervalo, mas como a equação é linear e não há termos dependentes do intervalo anterior, a solução permanece:
Resposta
A solução do problema de valores iniciais é dada por: