Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema de valores iniciais para uma equação diferencial. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
A função é definida de forma diferente em dois intervalos:
Para resolver essa equação, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos, além de aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como é uma função por partes, vamos considerar as duas partes separadamente.
Para :
A equação fica:
Procuramos uma solução particular constante, ou seja, . Derivando:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular para é:
Para :
A equação fica:
Procuramos uma solução particular da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os termos:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, vamos juntar a solução homogênea com a solução particular para cada intervalo.
Para :
Para :

Passo 5

Utilizamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos . Primeiro, calculamos a derivada de :
Então,

Passo 6

Substituímos e nas soluções.
Para :
Para :
Ainda precisamos garantir que a solução seja contínua e suave em . Portanto, ajustamos as constantes para esse intervalo, mas como a equação é linear e não há termos dependentes do intervalo anterior, a solução permanece:

Resposta

A solução do problema de valores iniciais é dada por:

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