Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. A gente tem a seguinte equação:
Aqui, vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é , onde é a transformada de .
Aplicando isso:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
Isolando :
Para facilitar, vamos combinar os termos:

Passo 4

Vamos decompôr em frações parciais para facilitar a inversão:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agora, agrupamos os termos:
Comparando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Termo constante:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De :
  2. De :
  3. Já sabemos que

Passo 6

Substituindo os valores de , e na decomposição:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar :
Então:

Resposta

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