Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. A gente tem a seguinte equação:
Aqui, vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é , onde é a transformada de .
Aplicando isso:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Isolando :
Para facilitar, vamos combinar os termos:
Passo 4
Vamos decompôr em frações parciais para facilitar a inversão:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agora, agrupamos os termos:
Comparando os coeficientes:
Para :
Para :
Termo constante:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
De :
De :
Já sabemos que
Passo 6
Substituindo os valores de , e na decomposição:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar :