Determine a solução dos seguintes PVI:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que é uma equação diferencial de primeira ordem. A gente tem uma condição inicial também, que é
. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações separáveis e como integrar ambos os lados para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Isso pode ser escrito como:
A gente quer colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. Então, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Igualando as integrais, temos:
Podemos combinar as constantes de integração em uma única constante
. Para simplificar, vamos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante qualquer.
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Resolva as seguintes equações:
(f)
(f)
Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(g)
(g)