Determine a solução dos seguintes PVI:
(g) y' = -2xy / (1 + x^2) ; y(2) = -5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que é uma equação diferencial de primeira ordem. A gente tem uma condição inicial também, que é . Para resolver, vamos precisar entender sobre equações separáveis e como integrar ambos os lados para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis e . A equação dada é:
Isso pode ser escrito como:
A gente quer colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado. Então, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 4

Igualando as integrais, temos:
Podemos combinar as constantes de integração em uma única constante . Para simplificar, vamos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante qualquer.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Resposta

A solução do problema é:

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