Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma solução em série de potências centrada em
existe para a equação diferencial
E também descobrir para quais valores de
essa série converge. Vamos precisar entender sobre equações diferenciais, pontos ordinários e singulares, e o conceito de raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se o ponto
é um ponto ordinário ou um ponto singular para a equação. Para isso, a equação está na forma geral:
No nosso caso, temos
,
(já que não tem termo com
), e
.
Passo 3
Um ponto
é ordinário se
. Vamos calcular
:
Como
não é zero, o ponto
é um ponto ordinário. Isso significa que uma solução em série de potências centrada em
existe.
Passo 4
Agora, para descobrir o conjunto de valores de
para os quais a série converge, precisamos determinar o raio de convergência. Para equações diferenciais, isso geralmente está relacionado aos pontos onde os coeficientes
,
, e
se comportam mal, como zeros de
.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos onde
:
Esses são os pontos singulares. Como estamos centrando a série em
, a distância até o ponto mais próximo singular determinará o raio de convergência.
Passo 6
Calculamos a distância de
aos pontos singulares
e
:
A menor distância é 1, então o raio de convergência é 1.
Passo 7
Isso significa que a série de potências centrada em
converge para valores de
tais que:
Ou seja, para
no intervalo
.
Resposta
A solução em série de potências centrada em
existe e converge para todos os valores de
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Responda aos itens abaixo:
(14.1) A integral é independente do caminho?
(14.1) A integral
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Sabe-se que o campo
é um campo conservativo em
.
(12.2) Calcule , onde
é o arco de circunferência
, com
que vai de
a
(12.2) Calcule
Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.