Determine se a solução em série de potências em torno do ponto x = a, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
(x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0, a = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma solução em série de potências centrada em existe para a equação diferencial
E também descobrir para quais valores de essa série converge. Vamos precisar entender sobre equações diferenciais, pontos ordinários e singulares, e o conceito de raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se o ponto é um ponto ordinário ou um ponto singular para a equação. Para isso, a equação está na forma geral:
No nosso caso, temos , (já que não tem termo com ), e .

Passo 3

Um ponto é ordinário se . Vamos calcular :
Como não é zero, o ponto é um ponto ordinário. Isso significa que uma solução em série de potências centrada em existe.

Passo 4

Agora, para descobrir o conjunto de valores de para os quais a série converge, precisamos determinar o raio de convergência. Para equações diferenciais, isso geralmente está relacionado aos pontos onde os coeficientes , , e se comportam mal, como zeros de .

Passo 5

Vamos encontrar os pontos onde :
Esses são os pontos singulares. Como estamos centrando a série em , a distância até o ponto mais próximo singular determinará o raio de convergência.

Passo 6

Calculamos a distância de aos pontos singulares e :
A menor distância é 1, então o raio de convergência é 1.

Passo 7

Isso significa que a série de potências centrada em converge para valores de tais que:
Ou seja, para no intervalo .

Resposta

A solução em série de potências centrada em existe e converge para todos os valores de no intervalo .

Exercícios relacionados

Responda aos itens abaixo:
(14.1) A integral I=integralr(sen(x y)+x y cos (x y)) d x+x^2 cos (x y) d y é independente do caminho?
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto x = a, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
x(1-x) y'' + y = 0, a = 1/3
Sabe-se que o campo F=(e^x+y+1) i+e^x+y j é um campo conservativo em R^2.
(12.2) Calcule integralr F cdot d r, onde r é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-12)^2=14, com x >= 1 que vai de (1,0) a (1,1)
Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
y' = x^2 - y, y(0) = 0