Sabe-se que o campo
é um campo conservativo em
.
(12.2) Calcule
, onde
é o arco de circunferência
, com
que vai de
a
(12.2) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está pedindo para calcular uma integral de linha no campo vetorial
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como encontrar uma função potencial para
e usar essa função para calcular a integral ao longo do caminho
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso significa que a integral de
ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho em si.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, precisamos integrar as componentes de
. Vamos começar com a componente
:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à componente
de
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos assumir que
para simplificar.
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Agora que temos a função potencial
, podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos. A integral de
ao longo de
de
a
é simplesmente:
Passo 6
Vamos calcular
nos pontos finais:
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo na expressão da integral:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Responda aos itens abaixo:
(14.1) A integral é independente do caminho?
(14.1) A integral
Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis
:
.