Sabe-se que o campo F=(e^x+y+1) i+e^x+y j é um campo conservativo em R^2.
(12.2) Calcule integralr F cdot d r, onde r é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-12)^2=14, com x >= 1 que vai de (1,0) a (1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está pedindo para calcular uma integral de linha no campo vetorial . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como encontrar uma função potencial para e usar essa função para calcular a integral ao longo do caminho .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que . Isso significa que a integral de ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho em si.

Passo 3

Para encontrar a função potencial partial phipartial x = e^x+y + 1 , precisamos integrar as componentes de phi(x,y) = integral (e^x+y + 1) , dx = e^x+y + x + g(y) . Vamos começar com a componente :
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, vamos derivar partial phipartial y = e^x+y + g'(y) = e^x+y em relação a phi(x,y) = e^x+y + x e igualar à componente de :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos assumir que para simplificar.
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Agora que temos a função potencial integralr F cdot dr = phi(1,1) - phi(1,0) , podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos. A integral de ao longo de de a é simplesmente:

Passo 6

Vamos calcular phi(1,1) = e^1+1 + 1 = e^2 + 1 nos pontos finais:
Para phi(1,0) = e^1+0 + 1 = e^1 + 1 :
Para :

Passo 7

Substituindo na expressão da integral:
integralr F cdot dr = (e^2 + 1) - (e^1 + 1) = e^2 - e

Resposta

integralr F cdot dr = e^2 - e

Exercícios relacionados

Determine se a solução em série de potências em torno do ponto x = a, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
(x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0, a = 1
Responda aos itens abaixo:
(14.1) A integral I=integralr(sen(x y)+x y cos (x y)) d x+x^2 cos (x y) d y é independente do caminho?
Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
y' = x^2 - y, y(0) = 0
Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis v = y / x: (x + raiz(x y)) * dy/dx + x - y = x^(-1/2) * y^(3/2).