Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
y' = x^2 - y, y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Picard. A gente tem a equação com a condição inicial . O Método de Picard é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar a solução dessa equação. Para isso, vamos precisar transformar a equação diferencial em uma integral e então fazer aproximações sucessivas até chegar na quarta aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma integral. A equação pode ser integrada da seguinte maneira:
Como sabemos que , a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos definir a iteração de Picard. A gente começa com uma aproximação inicial. Normalmente, escolhemos como ponto de partida. Então, a primeira aproximação é:
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, usamos para encontrar :
Vamos calcular essa integral:

Passo 5

Seguimos para :
Simplificando dentro da integral:
Calculando as integrais:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular :
Simplificando dentro da integral:
Calculando as integrais:

Resposta

A quarta aproximação da solução usando o Método de Picard é:

Exercícios relacionados

Sabe-se que o campo F=(e^x+y+1) i+e^x+y j é um campo conservativo em R^2.
(12.2) Calcule integralr F cdot d r, onde r é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-12)^2=14, com x >= 1 que vai de (1,0) a (1,1)
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto x = a, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
(x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0, a = 1
Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis v = y / x: (x + raiz(x y)) * dy/dx + x - y = x^(-1/2) * y^(3/2).
Seja um campo de forças dado por F(x, y, z) = (3 x^2 y z + e^z, x^3 z, x^3 y + x e^z + 3 z^2).
(15.2) Calcule o trabalho realizado por F para mover uma particula ao longo da curva r, interseção da superfície z = 1 - x^2 (onde z >= 0 ), com o plano y + z = 1, orientada no sentido do crescimento de x.