Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
y' = x^2 - y, y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Picard. A gente tem a equação com a condição inicial . O Método de Picard é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar a solução dessa equação. Para isso, vamos precisar transformar a equação diferencial em uma integral e então fazer aproximações sucessivas até chegar na quarta aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma integral. A equação pode ser integrada da seguinte maneira:
Como sabemos que , a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos definir a iteração de Picard. A gente começa com uma aproximação inicial. Normalmente, escolhemos como ponto de partida. Então, a primeira aproximação é:
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, usamos para encontrar :
Vamos calcular essa integral:

Passo 5

Seguimos para :
Simplificando dentro da integral:
Calculando as integrais:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular :
Simplificando dentro da integral:
Calculando as integrais:

Resposta

A quarta aproximação da solução usando o Método de Picard é:

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