Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Picard. A gente tem a equação
com a condição inicial
. O Método de Picard é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar a solução dessa equação. Para isso, vamos precisar transformar a equação diferencial em uma integral e então fazer aproximações sucessivas até chegar na quarta aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma integral. A equação
pode ser integrada da seguinte maneira:
Como sabemos que
, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos definir a iteração de Picard. A gente começa com uma aproximação inicial. Normalmente, escolhemos
como ponto de partida. Então, a primeira aproximação é:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, usamos
para encontrar
:
Vamos calcular essa integral:
Passo 5
Seguimos para
:
Simplificando dentro da integral:
Calculando as integrais:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular
:
Simplificando dentro da integral:
Calculando as integrais:
Resposta
A quarta aproximação da solução usando o Método de Picard é: