Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando séries de potências em torno do ponto
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre soluções em série. Para resolver, vamos precisar expandir a solução
em uma série de potências centrada em
e determinar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial original
:
Passo 5
Vamos simplificar o termo com
multiplicando a série:
Note que
, então podemos reescrever
como
:
Passo 6
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de
. Definimos
:
Passo 7
Reescrevendo as potências para combinar os termos:
Passo 8
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 9
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Portanto, temos as seguintes equações:
Para
:
Passo 10
Vamos resolver essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes
em termos de
:
Passo 11
Escolhemos valores iniciais para
e
. Geralmente,
e
são determinados pelas condições iniciais, mas como não há, podemos deixar em termos de
e
.
Então, começamos:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 12
Portanto, a solução geral em série é:
Passo 13
Observamos que as séries correspondem às expansões de
e
, ajustando os coeficientes. Portanto, a solução pode ser escrita em forma fechada como:
Passo 14
Finalmente, a série converge para todos os valores de
porque as funções trigonométricas são definidas para todo
.
Resposta
A solução em série da equação diferencial
em torno de
é:
Essa série converge para todo valor de
.
Exercícios relacionados
Mostre que:
Se então
, e como
também temos que
.
Se
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.