Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências em torno do ponto . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre soluções em série. Para resolver, vamos precisar expandir a solução em uma série de potências centrada em e determinar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituindo e na equação diferencial original :

Passo 5

Vamos simplificar o termo com multiplicando a série:
Note que , então podemos reescrever como :

Passo 6

Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de . Definimos :

Passo 7

Reescrevendo as potências para combinar os termos:

Passo 8

Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 9

Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Portanto, temos as seguintes equações:
Para :

Passo 10

Vamos resolver essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes em termos de :

Passo 11

Escolhemos valores iniciais para e . Geralmente, e são determinados pelas condições iniciais, mas como não há, podemos deixar em termos de e .
Então, começamos:
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 12

Portanto, a solução geral em série é:

Passo 13

Observamos que as séries correspondem às expansões de e , ajustando os coeficientes. Portanto, a solução pode ser escrita em forma fechada como:

Passo 14

Finalmente, a série converge para todos os valores de porque as funções trigonométricas são definidas para todo .

Resposta

A solução em série da equação diferencial em torno de é:
Essa série converge para todo valor de .

Exercícios relacionados

Mostre que:
Se então , e como também temos que .
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto , para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.