Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.3) F(x, y, z) = -y * k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar sua função potencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial. Um campo conservativo é aquele em que o trabalho realizado entre dois pontos independe do caminho escolhido. Para identificar se um campo é conservativo, geralmente verificamos se o rotacional (ou curl) do campo é zero. Se for, o campo é conservativo e podemos encontrar uma função potencial integrando os componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, , então , e .
Vamos calcular cada componente do rotacional:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, o rotacional de é:

Passo 3

Como o rotacional de não é zero ( ), concluímos que o campo não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial para esse campo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, pois seu rotacional é diferente de zero.

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