Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.3)
(10.3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, se for, encontrar sua função potencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial. Um campo conservativo é aquele em que o trabalho realizado entre dois pontos independe do caminho escolhido. Para identificar se um campo é conservativo, geralmente verificamos se o rotacional (ou curl) do campo é zero. Se for, o campo é conservativo e podemos encontrar uma função potencial integrando os componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
, então
,
e
.
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, o rotacional de
é:
Passo 3
Como o rotacional de
não é zero (
), concluímos que o campo
não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial para esse campo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, pois seu rotacional é diferente de zero.