Syam X=(1raiz2, 0, 1raiz2) cdot Y=(a, 1raiz2,-b). Para quais valores de aeb, ocoujunts ^X, Y éortonormal?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores:
O problema quer saber para quais valores de e o conjunto é ortonormal. Isso significa que:
  1. Normalização: Cada vetor tem norma igual a 1.
  2. Ortonormalidade: Os vetores são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre eles é zero).
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que cada vetor tenha norma 1. A norma de um vetor ||V|| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 é dada por:
||X|| = raiz(1raiz2)^2 + 0^2 + (1raiz2)^2 = raiz12 + 0 + 12 = raiz1 = 1
Vamos calcular a norma de e igualar a 1.
Para :
Então, já está normalizado.

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor ||Y|| = raiza^2 + (1raiz2)^2 + (-b)^2 = raiza^2 + 12 + b^2 . Queremos que raiza^2 + 12 + b^2 = 1 .
Para a^2 + b^2 + 12 = 1 :
a^2 + b^2 = 12
Igualando a 1:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Essa é a primeira equação que relaciona e .

Passo 4

Agora, precisamos garantir que os vetores V cdot W = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 e X cdot Y = (1raiz2) cdot a + 0 cdot (1raiz2) + (1raiz2) cdot (-b) = araiz2 - braiz2 sejam ortogonais, ou seja, o produto interno entre eles seja zero. O produto interno de dois vetores araiz2 - braiz2 = 0 e a - b = 0 implies a = b é dado por:
Vamos calcular :
Queremos que isso seja igual a zero:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora temos duas condições:
  1. a^2 + a^2 = 12 implies 2a^2 = 12 implies a^2 = 14 implies a = pm 12
  2. b = pm 12
Substituindo por na primeira equação:
Como , então:

Resposta

Para que os vetores a = b = pm 12 e formem um conjunto ortonormal, os valores de e devem ser iguais e podem ser ou . Ou seja:

Exercícios relacionados

Determine a solução do sistema abaixo:
l x+2 y+5 z-2 w=1 -x+3 y-z+2 w=0 -x+4 y+3 z=0 2 x-2 y+2 z-2 w=1
Um plano pi contém as retas r:-2 x=-y3=4 z+22 e s:ly=-6 z+3 x=-z Determine a equação do plano pi.
Um plano pi contém as retas r:-2 x=-y3=4 z+22 e s:ly=-6 z+3 x=-z Calcule o ângulo que o plano pi faz com o plano x y.
Encontre una base ortonor mal para o subespace do R^4 que. cousiste de todos or wetores (a, b, c, d) Tais que
a-b-2 c+2=0