Syam . Para quais valores de aeb, ocoujunts éortonormal?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores:
O problema quer saber para quais valores de e o conjunto é ortonormal. Isso significa que:
Normalização: Cada vetor tem norma igual a 1.
Ortonormalidade: Os vetores são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre eles é zero).
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que cada vetor tenha norma 1. A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular a norma de e igualar a 1.
Para :
Então, já está normalizado.
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor . Queremos que .
Para :
Igualando a 1:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Essa é a primeira equação que relaciona e .
Passo 4
Agora, precisamos garantir que os vetores e sejam ortogonais, ou seja, o produto interno entre eles seja zero. O produto interno de dois vetores e é dado por:
Vamos calcular :
Queremos que isso seja igual a zero:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 5
Agora temos duas condições:
Substituindo por na primeira equação:
Como , então:
Resposta
Para que os vetores e formem um conjunto ortonormal, os valores de e devem ser iguais e podem ser ou . Ou seja: