Syam
. Para quais valores de aeb, ocoujunts
éortonormal?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores:
O problema quer saber para quais valores de
e
o conjunto
é ortonormal. Isso significa que:
- Normalização: Cada vetor tem norma igual a 1.
- Ortonormalidade: Os vetores são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre eles é zero).
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que cada vetor tenha norma 1. A norma de um vetor
é dada por:
Vamos calcular a norma de
e igualar a 1.
Para
:
Então,
já está normalizado.
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor
. Queremos que
.
Para
:
Igualando a 1:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Essa é a primeira equação que relaciona
e
.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que os vetores
e
sejam ortogonais, ou seja, o produto interno entre eles seja zero. O produto interno de dois vetores
e
é dado por:
Vamos calcular
:
Queremos que isso seja igual a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora temos duas condições:
Substituindo
por
na primeira equação:
Como
, então:
Resposta
Para que os vetores
e
formem um conjunto ortonormal, os valores de
e
devem ser iguais e podem ser
ou
. Ou seja: