Determine a solução do sistema linear.
l x+2 y+3 z+4 w=10 2 x+y+2 z+3 w=7 3 x+2 y+z+2 w=6 4 x+3 y+2 z+w=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que tem quatro incógnitas: , , e . A gente vai usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores de cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
x + 2y + 3z + 4w = 10 2x + y + 2z + 3w = 7 3x + 2y + z + 2w = 6 4x + 3y + 2z + w = 5

Passo 3

O próximo passo é formar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os valores das equações:
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 2 & 1 & 2 & 3 & | & 7 3 & 2 & 1 & 2 & | & 6 4 & 3 & 2 & 1 & | & 5

Passo 4

Vamos começar a eliminar as variáveis abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda, 3 vezes da terceira e 4 vezes da quarta:
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & -3 & -4 & -5 & | & -13 0 & -4 & -8 & -10 & | & -24 0 & -5 & -10 & -15 & | & -35

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Vamos tornar o coeficiente abaixo do segundo elemento como zero. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & -4 & -8 & -10 & | & -24 0 & -5 & -10 & -15 & | & -35 para facilitar:

Passo 6

Em seguida, eliminamos os termos abaixo do segundo elemento da segunda coluna:
  • Linha 3: Linha 3 + 4 vezes a Linha 2
  • Linha 4: Linha 4 + 5 vezes a Linha 2
1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & 43 & 103 & | & 283 0 & 0 & 103 & 203 & | & 503

Passo 7

Agora, vamos simplificar a terceira coluna. Multiplicamos a terceira linha por 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & 1 & 52 & | & 7 0 & 0 & 103 & 203 & | & 503 para tornar o coeficiente 1:

Passo 8

Eliminamos o termo abaixo do terceiro elemento da terceira coluna:
  • Linha 4: Linha 4 - 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 0 & 1 & 43 & 53 & | & 133 0 & 0 & 1 & 52 & | & 7 0 & 0 & 0 & -53 & | & -203 vezes a Linha 3

Passo 9

Agora, isolamos a quarta variável -53w = -203 implies w = 4 :

Passo 10

Substituímos z + 52(4) = 7 implies z + 10 = 7 implies z = -3 na terceira linha para encontrar :

Passo 11

Agora, com y + 43(-3) + 53(4) = 133 y - 4 + 203 = 133 y = 133 + 4 - 203 y = 13 + 12 - 203 = 53 e , substituímos na segunda linha para achar :

Passo 12

Finalmente, com x + 2(53) + 3(-3) + 4(4) = 10 x + 103 - 9 + 16 = 10 x + 103 + 7 = 10 x = 10 - 7 - 103 x = 3 - 103 = -13 , e , substituímos na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -13, y = 53, z = -3, w = 4

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