resolva o sistema pelo método do determinante:
l x+y+2 z=4 2 x-y-z=0 x-y-z=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método dos determinantes, também conhecido como Regra de Cramer. O sistema que temos é:
l x + y + 2z = 4 2x - y - z = 0 x - y - z = -1
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e aplicar a Regra de Cramer, que nos ajuda a encontrar as soluções das variáveis de forma organizada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que estão na frente das variáveis A = 1 & 1 & 2 2 & -1 & -1 1 & -1 & -1 , det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) e A = a & b & c d & e & f g & h & i em cada equação e colocar em uma matriz:
det(A) = 1 cdot [(-1)(-1) - (-1)(-1)] - 1 cdot [2 cdot (-1) - (-1) cdot 1] + 2 cdot [2 cdot (-1) - (-1) cdot 1]
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot (1 - 1) - 1 cdot (-2 - (-1)) + 2 cdot (-2 - (-1)) , que é essencial para aplicar a Regra de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = 1 cdot 0 - 1 cdot (-1) + 2 cdot (-1)
Onde, na nossa matriz:
det(A) = 0 + 1 - 2 = -1
Aplicando os valores:
Calculando passo a passo:

Passo 3

Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes Ax = 4 & 1 & 2 0 & -1 & -1 -1 & -1 & -1 , det(Ax) = 4 cdot [(-1)(-1) - (-1)(-1)] - 1 cdot [0 cdot (-1) - (-1) cdot (-1)] + 2 cdot [0 cdot (-1) - (-1) cdot (-1)] e det(Ax) = 4 cdot (1 - 1) - 1 cdot (0 - 1) + 2 cdot (0 - 1) , que são iguais à matriz original det(Ax) = 4 cdot 0 - 1 cdot (-1) + 2 cdot (-1) , mas substituindo respectivamente a coluna de det(Ax) = 0 + 1 - 2 = -1 , Ay = 1 & 4 & 2 2 & 0 & -1 1 & -1 & -1 e det(Ay) = 1 cdot [0 cdot (-1) - (-1) cdot (-1)] - 4 cdot [2 cdot (-1) - (-1) cdot 1] + 2 cdot [2 cdot (-1) - 0 cdot 1] pelos termos constantes do sistema (o lado direito das equações).
Matriz det(Ay) = 1 cdot (0 - 1) - 4 cdot (-2 - (-1)) + 2 cdot (-2 - 0) (substituindo a coluna de det(Ay) = 1 cdot (-1) - 4 cdot (-1) + 2 cdot (-2) ):
det(Ay) = -1 + 4 - 4 = -1
Calculando Az = 1 & 1 & 4 2 & -1 & 0 1 & -1 & -1 :
det(Az) = 1 cdot [(-1)(-1) - 0 cdot (-1)] - 1 cdot [2 cdot (-1) - 0 cdot 1] + 4 cdot [2 cdot (-1) - (-1) cdot 1]
det(Az) = 1 cdot (1 - 0) - 1 cdot (-2 - 0) + 4 cdot (-2 - (-1))
det(Az) = 1 cdot 1 - 1 cdot (-2) + 4 cdot (-1)
det(Az) = 1 + 2 - 4 = -1
Matriz (substituindo a coluna de ):
Calculando :
Matriz (substituindo a coluna de ):
Calculando :

Passo 4

Agora que temos os determinantes, vamos usar a Regra de Cramer para encontrar os valores de x = det(Ax)det(A) , y = det(Ay)det(A) , z = det(Az)det(A) , x = -1-1 = 1 e y = -1-1 = 1 . A fórmula da Regra de Cramer é:
z = -1-1 = 1
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 1, y = 1, z = 1

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