Determine as soluções dos P.V.I. abaixo. y'(t) + y(t) = 1/(1 + t^2) ; y(1) = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O que a gente tem aqui é uma equação do tipo com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Podemos reescrever a equação no formato padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Note que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral à esquerda simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

A integral não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, podemos deixar a solução em termos de integrais ou usar séries ou aproximações para soluções específicas. No entanto, para o propósito deste exercício, vamos expressar a solução geral como está:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Como a integral avaliada em um ponto específico neste contexto não altera a constante geral, simplificamos para encontrar :

Resposta

A solução geral do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados