Determine as soluções dos P.V.I. abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O que a gente tem aqui é uma equação do tipo
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Podemos reescrever a equação no formato padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Note que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral à esquerda simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
A integral
não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, podemos deixar a solução em termos de integrais ou usar séries ou aproximações para soluções específicas. No entanto, para o propósito deste exercício, vamos expressar a solução geral como está:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Como a integral avaliada em um ponto específico neste contexto não altera a constante geral, simplificamos para encontrar
:
Resposta
A solução geral do problema de valor inicial é: