Questão 2 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto dado na direção de um vetor específico. A função que temos é
, o ponto é
e o vetor de direção é
.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais, gradiente e como calcular a derivada direcional usando essas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica é a taxa de variação da função nessa direção. Ela é calculada usando o gradiente da função e a direção do vetor, mais especificamente:
Onde:
-
é o gradiente da função . -
é o vetor direção unitário.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos avaliar o gradiente no ponto dado
:
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
para transformá-lo em um vetor unitário
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é 0.
Exercícios relacionados
(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis
, resolva os itens abaixo.
.
Determine as soluções dos P.V.I. abaixo.
.
Questão 3 Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
fornecido.
a)
a)
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo: