Questão 2 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto dado na direção de um vetor específico. A função que temos é , o ponto é e o vetor de direção é .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais, gradiente e como calcular a derivada direcional usando essas ferramentas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica é a taxa de variação da função nessa direção. Ela é calculada usando o gradiente da função e a direção do vetor, mais especificamente:
Onde:
  • é o gradiente da função .
  • é o vetor direção unitário.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos avaliar o gradiente no ponto dado :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção para transformá-lo em um vetor unitário :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é 0.

Exercícios relacionados

(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis , resolva os itens abaixo. .
Determine as soluções dos P.V.I. abaixo. .
Questão 3 Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo fornecido.
a)
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo: