Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, como métodos de separação de variáveis e substituições que facilitam a resolução.
Passo 2
Vamos reescrever a equação para isolarmos
. Subtraindo
de ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Observamos que a equação pode ser simplificada. Vamos dividir numerador e denominador por
:
Agora, fazemos a substituição
. Assim,
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
usando a regra do produto:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para simplificar:
Expandindo o lado esquerdo:
Rearranjando os termos:
Simplificando:
Passo 6
Isolamos
:
Podemos fatorar o numerador:
Isso sugere que podemos separar as variáveis
e
.
Passo 7
Rearranjamos para separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados. Para o lado esquerdo, usamos frações parciais.
Passo 8
Aplicamos frações parciais na integral do lado esquerdo:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 9
Calculamos as integrais:
Podemos combinar os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
.
Passo 10
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Passo 12
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Simplificando, obtemos: