Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. (3 t y + y^2) + (t^2 + t y) y' = 0, y(2) = 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, como métodos de separação de variáveis e substituições que facilitam a resolução.

Passo 2

Vamos reescrever a equação para isolarmos . Subtraindo de ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Observamos que a equação pode ser simplificada. Vamos dividir numerador e denominador por t^2:
Agora, fazemos a substituição . Assim, .

Passo 4

Calculamos a derivada de y em relação a t usando a regra do produto:
Substituindo y e na equação original:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para simplificar:
Expandindo o lado esquerdo:
Rearranjando os termos:
Simplificando:

Passo 6

Isolamos :
Podemos fatorar o numerador:
Isso sugere que podemos separar as variáveis v e t.

Passo 7

Rearranjamos para separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados. Para o lado esquerdo, usamos frações parciais.

Passo 8

Aplicamos frações parciais na integral do lado esquerdo:
Resolvendo para A e B:
Para :
Para :
Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 9

Calculamos as integrais:
Podemos combinar os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde .

Passo 10

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por t^2:
Rearranjando:

Passo 12

Aplicamos a condição inicial para encontrar K:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Simplificando, obtemos:

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