(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis , resolva os itens abaixo. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial que é do tipo Bernoulli. A equação é:
Então, vamos usar a mudança de variável para transformar essa equação em algo mais fácil de resolver. Nesse caso, .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, . Vamos fazer a substituição , ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Queremos expressar em termos de e , então rearranjamos:

Passo 4

Vamos substituir na equação original:
Reorganizando os termos:
Podemos dividir ambos os lados por :
Mas como , temos:
Multiplicando ambos os lados por 4:

Passo 5

Agora, essa é uma equação linear em . Vamos reescrever na forma padrão:
Para resolver, precisamos achar um fator integrante, que é:

Passo 6

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante :
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada de :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Agora, recordando que :

Passo 9

Invertendo para achar :

Passo 10

Finalmente, aplicando a condição inicial :
Simplificando:
Elevando ambos os lados à potência :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine as soluções dos P.V.I. abaixo. .
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo. .
Questão 2 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
b)
Questão 3 Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo fornecido.
a)