(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis
, resolva os itens abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial que é do tipo Bernoulli. A equação é:
Então, vamos usar a mudança de variável
para transformar essa equação em algo mais fácil de resolver. Nesse caso,
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui,
. Vamos fazer a substituição
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Queremos expressar
em termos de
e
, então rearranjamos:
Passo 4
Vamos substituir
na equação original:
Reorganizando os termos:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Mas como
, temos:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 5
Agora, essa é uma equação linear em
. Vamos reescrever na forma padrão:
Para resolver, precisamos achar um fator integrante, que é:
Passo 6
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante
:
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora, recordando que
:
Passo 9
Invertendo para achar
:
Passo 10
Finalmente, aplicando a condição inicial
:
Simplificando:
Elevando ambos os lados à potência
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine as soluções dos P.V.I. abaixo.
.
Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Questão 2 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
b)
b)
Questão 3 Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
fornecido.
a)
a)