Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma equação diferencial: . A missão aqui é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolver ela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especialmente sobre equações homogêneas de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada homogênea se ela pode ser escrita na forma , ou seja, se o lado direito da equação depender apenas da razão .
No nosso caso, temos:
Aqui, , que claramente depende apenas de . Portanto, a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver ela. Uma técnica comum para resolver equações homogêneas é usar a substituição . Vamos seguir esse passo a passo:
  1. Substituição: Seja , então .
  2. Derivada de : Vamos derivar em relação a :
  1. Substituir na equação original: Substituímos e na equação:
  1. Simplificar a equação:
  1. Resolver a equação diferencial para :
Integrando ambos os lados:
  1. Voltar para : Lembrando que :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

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Determine as soluções dos P.V.I. abaixo. .