Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma equação diferencial:
. A missão aqui é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolver ela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especialmente sobre equações homogêneas de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada homogênea se ela pode ser escrita na forma
, ou seja, se o lado direito da equação depender apenas da razão
.
No nosso caso, temos:
Aqui,
, que claramente depende apenas de
. Portanto, a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver ela. Uma técnica comum para resolver equações homogêneas é usar a substituição
. Vamos seguir esse passo a passo:
- Substituição: Seja
, então . - Derivada de
: Vamos derivar em relação a :
- Substituir na equação original: Substituímos
e na equação:
- Simplificar a equação:
- Resolver a equação diferencial para
:
Integrando ambos os lados:
- Voltar para
: Lembrando que :
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é a constante de integração.
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Encontre o valor de
que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de
encontrado.
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Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
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Determine as soluções dos P.V.I. abaixo.
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