Determine as soluções, caso existam, das seguintes edos: y' = 1 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que é . A matéria envolvida aqui é a resolução de EDOs, especificamente usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar separar as partes com y e com x para conseguir integrar e achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação original é:
Queremos colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro.

Passo 3

Vamos isolar e :
Agora conseguimos separar as variáveis: toda a parte com y está do lado esquerdo e a parte com x está do lado direito.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente tem:
Aí, precisamos saber como integrar cada lado.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 6

Vamos juntar as integrais:
Podemos simplificar isso combinando as constantes:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Agora, vamos resolver para y:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante arbitrária.

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