Determine as soluções, caso existam, das seguintes edos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que é
. A matéria envolvida aqui é a resolução de EDOs, especificamente usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar separar as partes com
e com
para conseguir integrar e achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação original é:
Queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 3
Vamos isolar
e
:
Agora conseguimos separar as variáveis: toda a parte com
está do lado esquerdo e a parte com
está do lado direito.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente tem:
Aí, precisamos saber como integrar cada lado.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Vamos juntar as integrais:
Podemos simplificar isso combinando as constantes:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Determine as soluções, caso existam, das seguintes edos:
.
Verifique quais edo são de variáveis separáveis:
.
Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
.
Encontre as soluções dos seguintes p.v.i: