Encontre as soluções dos seguintes p.v.i:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções de um problema de valor inicial (p.v.i). A equação diferencial dada é com a condição inicial . Isso envolve o estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente as equações separáveis, que a gente pode resolver dividindo as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação é separável, ou seja, podemos separar os termos que envolvem dos que envolvem . A equação dada é:
Vamos rearranjar para separar as variáveis:

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve e a do lado direito envolve :
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para isolando-a na equação:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Para facilitar, vamos redefinir a constante como apenas :
Invertendo os dois lados para resolver para :

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Então:

Passo 6

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na equação de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Determine as soluções não constantes das seguintes edos: .
Determine as soluções, caso existam, das seguintes edos: .
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .
Verifique quais edo são de variáveis separáveis: .