Encontre as soluções dos seguintes p.v.i:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções de um problema de valor inicial (p.v.i). A equação diferencial dada é
com a condição inicial
. Isso envolve o estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente as equações separáveis, que a gente pode resolver dividindo as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação é separável, ou seja, podemos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. A equação dada é:
Vamos rearranjar para separar as variáveis:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve
e a do lado direito envolve
:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
isolando-a na equação:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Para facilitar, vamos redefinir a constante
como apenas
:
Invertendo os dois lados para resolver para
:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Então:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
.
Determine as soluções, caso existam, das seguintes edos:
.
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
.
Verifique quais edo são de variáveis separáveis:
.