Determine as soluções não constantes das seguintes edos: y' = (x^2 + 1) / e^y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções não constantes da equação diferencial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), e para resolvermos vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos separar as variáveis e . Começamos com:
Podemos multiplicar ambos os lados por e por para isolar os termos:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função que satisfaça essa igualdade após a integração.

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
  • À esquerda:
  • À direita:

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões (podemos combinar as constantes de integração em uma única constante ):

Passo 6

Para isolar , vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:

Resposta

As soluções não constantes da equação diferencial são dadas por:

Exercícios relacionados