Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação envolve derivadas e exponenciais, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Temos:
Podemos reescrever o lado direito como:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integração nos dá:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
- À esquerda:
- À direita:
Passo 6
Igualando as duas expressões e juntando as constantes de integração (
):
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 8
Aplicamos o logaritmo natural para eliminar a exponencial:
Passo 9
Finalmente, isolamos
dividindo por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.