Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo: y' = e^(x - 2y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação envolve derivadas e exponenciais, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e x. Temos:
Podemos reescrever o lado direito como:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Para isso, colocamos todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro lado:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integração nos dá:

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
  • À esquerda:
  • À direita:

Passo 6

Igualando as duas expressões e juntando as constantes de integração ( ):

Passo 7

Agora, vamos resolver para y. Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 8

Aplicamos o logaritmo natural para eliminar a exponencial:

Passo 9

Finalmente, isolamos y dividindo por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é a constante de integração.

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