Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as soluções da equação diferencial . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos deixar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Então, dividimos os dois lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma função padrão:
No lado direito, temos:
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Vamos juntar as integrais e simplificar as constantes. Podemos combinar e em uma única constante :

Passo 5

Para isolar , aplicamos a função seno dos dois lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral é , onde é uma constante arbitrária.

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