Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as soluções da equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Então, dividimos os dois lados por
e multiplicamos por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma função padrão:
No lado direito, temos:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos juntar as integrais e simplificar as constantes. Podemos combinar
e
em uma única constante
:
Passo 5
Para isolar
, aplicamos a função seno dos dois lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral é
, onde
é uma constante arbitrária.
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