Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Essa equação faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. A equação original é:
Vamos passar
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo tudo por
Que simplifica para:
Passo 3
Agora, essa é uma equação diferencial linear da forma
. Aqui,
e
. Para resolver, vamos encontrar o fator integrante
usando a fórmula:
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Sabendo que
Como estamos trabalhando com
, podemos escrever:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A esquerda agora é a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
, multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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