Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo: (x + 3y) - x y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Essa equação faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. A equação original é:

Vamos passar para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Dividindo tudo por x para isolar :
Que simplifica para:

Passo 3

Agora, essa é uma equação diferencial linear da forma . Aqui, e . Para resolver, vamos encontrar o fator integrante mu(x) usando a fórmula:

Passo 4

Calculando o fator integrante:

Sabendo que , podemos simplificar:
Como estamos trabalhando com , podemos escrever:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Isso simplifica para:
A esquerda agora é a derivada de :

Passo 6

Integrando ambos os lados:

Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para y, multiplicamos ambos os lados por x^3:

Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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