Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O exercício pede para encontrar as soluções da equação diferencial . Vamos utilizar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar os coeficientes, encontrar o fator integrante e, por fim, integrar para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por (assumindo ), temos:
Agora, reconhecemos que esta é uma equação diferencial linear da forma:
onde e .

Passo 3

Para resolver uma equação linear, usamos o fator integrante que é dado por:
Aqui, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as: