Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O exercício pede para encontrar as soluções da equação diferencial
. Vamos utilizar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar os coeficientes, encontrar o fator integrante e, por fim, integrar para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
), temos:
Agora, reconhecemos que esta é uma equação diferencial linear da forma:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação linear, usamos o fator integrante
que é dado por:
Aqui,
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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