Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que você me passou:
Essa equação pode não ser exata, ou seja, não segue diretamente a condição de exatidão que facilita a resolução. Nosso objetivo aqui é verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata para podermos resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que possamos aplicar os critérios de exatidão. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, identificamos as funções e :

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se elas são iguais:
Como , a equação é exata. Isso significa que podemos diretamente encontrar uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os termos, temos:
Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta na função :
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Determine todas as funçoes que tornam exata a equação diferencial