Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que você me passou:
Essa equação pode não ser exata, ou seja, não segue diretamente a condição de exatidão que facilita a resolução. Nosso objetivo aqui é verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata para podermos resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que possamos aplicar os critérios de exatidão. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, identificamos as funções
e
:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que podemos diretamente encontrar uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos, temos:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na função
:
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Determine todas as funçoes
que tornam exata a equação diferencial