Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você trouxe:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e a técnica do fator integrante para transformar uma equação não exata em exata. Vamos precisar identificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocá-la na forma:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais:
Calculando:
Comparando:
Percebemos que:
Isso significa que a equação é exata! Logo, não precisamos encontrar um fator integrante; podemos prosseguir para encontrar a solução.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Onde
é uma função arbitrária de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando os termos:
Simplificando, percebemos que:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial é dada por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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