Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você trouxe:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e a técnica do fator integrante para transformar uma equação não exata em exata. Vamos precisar identificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocá-la na forma:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais:
Calculando:
Comparando:
Percebemos que:
Isso significa que a equação é exata! Logo, não precisamos encontrar um fator integrante; podemos prosseguir para encontrar a solução.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
Onde é uma função arbitrária de que surge da integração.

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando os termos:
Simplificando, percebemos que:
Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é dada por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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