Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo envolvido aqui é o das equações diferenciais exatas e não exatas. Precisamos verificar se essa equação é exata. Se não for, vamos encontrar um fator integrante que a torne exata para poder resolver.

Passo 2

Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja:
Vamos identificar e na nossa equação:

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Comparando:
Como as derivadas não são iguais, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Um método comum para encontrar o fator integrante quando a equação não é exata é assumir que depende apenas de . O fator integrado deve satisfazer:
Substituindo os valores que já calculamos:
No entanto, aqui percebemos que depende também de , o que sugere que uma abordagem diferente pode ser necessária. Vamos tentar encontrar .

Passo 5

Assumindo que depende apenas de , o fator integrado deve satisfazer:
Substituindo os valores:
Percebemos que também há uma dependência de , o que sugere que precisaríamos de um fator mais complexo ou que talvez a equação não possa ser tornada exata por um fator integrante que depende apenas de ou .

Passo 6

Como nenhuma das abordagens anteriores funcionou, vamos considerar um fator integrante que seja uma função de . Voltando ao passo 4, ajustamos a equação para encontrar .
Reescrevendo a equação para :
Integrando ambos os lados:
No entanto, aqui notamos que houve um erro, pois a variável está presente na integral, o que indica que a suposição de que depende apenas de não é válida.

Passo 7

Diante disso, vamos tentar outra abordagem utilizando um fator integrante que é uma função de . A relação para o fator integrante fica:
Novamente, percebemos que há uma dependência de , o que sugere que precisaríamos de uma abordagem mais avançada ou que a equação pode não ser resolvível por métodos padrão de fator integrante.

Resposta

Após tentar diferentes abordagens para encontrar um fator integrante e verificar que a equação não pode ser tornada exata por métodos simples, concluímos que a equação diferencial fornecida não pode ser resolvida utilizando um fator integrante que depende apenas de ou . Portanto, métodos alternativos ou informações adicionais seriam necessários para resolver essa equação.

Exercícios relacionados

Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(b)
Encontre o comprimento de arco da curva .
12.
Encontre constantes e tais que a solução para a equação de diferenças
seja igual a
Você precisa fornecer apenas uma resposta válida, caso múltiplas respostas existam. Caso não exista solução, explique brevemente o porquê.
A equação de diferenças de primeira ordem , descreve um sistema de tempo discreto inicialmente em repouso.
Verifique que a resposta ao impulso desse sistema é .