Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(t)
(t)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo envolvido aqui é o das equações diferenciais exatas e não exatas. Precisamos verificar se essa equação é exata. Se não for, vamos encontrar um fator integrante que a torne exata para poder resolver.
Passo 2
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Comparando:
Como as derivadas não são iguais, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Um método comum para encontrar o fator integrante
quando a equação não é exata é assumir que
depende apenas de
. O fator integrado deve satisfazer:
Substituindo os valores que já calculamos:
No entanto, aqui percebemos que
depende também de
, o que sugere que uma abordagem diferente pode ser necessária. Vamos tentar encontrar
.
Passo 5
Assumindo que
depende apenas de
, o fator integrado deve satisfazer:
Substituindo os valores:
Percebemos que também há uma dependência de
, o que sugere que precisaríamos de um fator mais complexo ou que talvez a equação não possa ser tornada exata por um fator integrante que depende apenas de
ou
.
Passo 6
Como nenhuma das abordagens anteriores funcionou, vamos considerar um fator integrante que seja uma função de
. Voltando ao passo 4, ajustamos a equação para encontrar
.
Reescrevendo a equação para
:
Integrando ambos os lados:
No entanto, aqui notamos que houve um erro, pois a variável
está presente na integral, o que indica que a suposição de que
depende apenas de
não é válida.
Passo 7
Diante disso, vamos tentar outra abordagem utilizando um fator integrante que é uma função de
. A relação para o fator integrante fica:
Novamente, percebemos que há uma dependência de
, o que sugere que precisaríamos de uma abordagem mais avançada ou que a equação pode não ser resolvível por métodos padrão de fator integrante.
Resposta
Após tentar diferentes abordagens para encontrar um fator integrante e verificar que a equação não pode ser tornada exata por métodos simples, concluímos que a equação diferencial fornecida não pode ser resolvida utilizando um fator integrante que depende apenas de
ou
. Portanto, métodos alternativos ou informações adicionais seriam necessários para resolver essa equação.
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Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(b)
(b)
Encontre o comprimento de arco da curva
.
12.
12.
Encontre constantes
e
tais que a solução para a equação de diferenças
seja igual a
Você precisa fornecer apenas uma resposta válida, caso múltiplas respostas existam. Caso não exista solução, explique brevemente o porquê.
A equação de diferenças de primeira ordem
, descreve um sistema de tempo discreto inicialmente em repouso.
Verifique que a resposta ao impulso desse sistema é .
Verifique que a resposta ao impulso desse sistema é