Encontre constantes e tais que a solução para a equação de diferenças
seja igual a
Você precisa fornecer apenas uma resposta válida, caso múltiplas respostas existam. Caso não exista solução, explique brevemente o porquê.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos três constantes , e que satisfazem a seguinte equação de diferenças:
Aqui, é uma função definida por:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações de diferenças e a função delta de Kronecker , que é igual a 1 quando e 0 caso contrário. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que tornam essa equação verdadeira para todos os valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos escolher alguns valores específicos de para simplificar a equação e obter um sistema de equações que possamos resolver para , e . Vamos começar com , e .
Passo 3
Para :
Sabemos que , , , e . Substituindo na equação:
Ou seja:
Passo 4
Para :
Sabemos que , , e . Substituindo na equação:
Ou seja:
Passo 5
Para :
Sabemos que , , e . Substituindo na equação:
Ou seja:
Passo 6
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 7
Primeiro, multiplicamos todas as equações para eliminar os denominadores:
Equação 1: Multiplicamos por 6:
çã
Equação 2: Multiplicamos por 9:
çã
Equação 3: Multiplicamos por 4:
çã
Passo 8
Agora, vamos resolver o sistema:
Primeiro, da Equação 2a:
Substituímos na Equação 1a:
Passo 9
Agora que temos , substituímos na expressão de :
Substituímos e na Equação 3a:
Passo 10
Finalmente, substituímos na expressão de :
Resposta
As constantes que satisfazem a equação de diferenças são: