Encontre constantes e tais que a solução para a equação de diferenças
seja igual a
Você precisa fornecer apenas uma resposta válida, caso múltiplas respostas existam. Caso não exista solução, explique brevemente o porquê.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos três constantes , e que satisfazem a seguinte equação de diferenças:
Aqui, é uma função definida por:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações de diferenças e a função delta de Kronecker , que é igual a 1 quando e 0 caso contrário. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que tornam essa equação verdadeira para todos os valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns valores específicos de para simplificar a equação e obter um sistema de equações que possamos resolver para , e . Vamos começar com , e .

Passo 3

Para :
Sabemos que , , , e . Substituindo na equação:
Ou seja:
çã

Passo 4

Para :
Sabemos que , , e . Substituindo na equação:
Ou seja:
çã

Passo 5

Para :
Sabemos que , , e . Substituindo na equação:
Ou seja:
çã

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
çãçãçã
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 7

Primeiro, multiplicamos todas as equações para eliminar os denominadores:
  • Equação 1: Multiplicamos por 6:
çã
  • Equação 2: Multiplicamos por 9:
çã
  • Equação 3: Multiplicamos por 4:
çã

Passo 8

Agora, vamos resolver o sistema:
Primeiro, da Equação 2a:
Substituímos na Equação 1a:

Passo 9

Agora que temos , substituímos na expressão de :
Substituímos e na Equação 3a:

Passo 10

Finalmente, substituímos na expressão de :

Resposta

As constantes que satisfazem a equação de diferenças são:

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(t)
Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(b)
A equação de diferenças de primeira ordem , descreve um sistema de tempo discreto inicialmente em repouso.
Verifique que a resposta ao impulso desse sistema é .
A equação de diferenças de primeira ordem , descreve um sistema de tempo discreto inicialmente em repouso.
O sistema é:
Sem memória?