Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação linear de primeira ordem:
Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
(assumindo que
):
Agora, temos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então,
Como estamos trabalhando com
positivo, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
para facilitar a resolução:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
.
Passo 6
Vamos calcular a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à equação integrada:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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