Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação linear de primeira ordem:
Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por (assumindo que ):
Agora, temos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Então,
Como estamos trabalhando com positivo, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante para facilitar a resolução:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente .

Passo 6

Vamos calcular a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à equação integrada:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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