Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
y' = x^3 - 2 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as soluções da equação diferencial linear de primeira ordem dada por:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Comparando com a equação dada:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ). O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma derivada exata, ou seja:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito. Para isso, usamos a substituição:
Deixe , então ou .
Reescrevendo a integral:
Essa integral é do tipo , que resolvemos por integração por partes:
Então,

Passo 7

Substituindo de volta na equação original:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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