Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as soluções da equação diferencial linear de primeira ordem dada por:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Comparando com a equação dada:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
). O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma derivada exata, ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito. Para isso, usamos a substituição:
Deixe
, então
ou
.
Reescrevendo a integral:
Essa integral é do tipo
, que resolvemos por integração por partes:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.