Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as soluções da equação diferencial de variáveis separáveis: . Aqui, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais de variáveis separáveis, que permite separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e as com do outro. Isso é o que chamamos de separar as variáveis.
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos simplificar as expressões. Lembrando que , então:
Portanto, a equação fica:

Passo 4

Hora de integrar ambos os lados para achar a solução geral. Vamos começar pela integral da esquerda:
Para integrar , podemos usar a identidade :
Fazendo a substituição , então :

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito:

Passo 6

Juntando as integrais dos dois lados, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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