Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as soluções da equação diferencial de variáveis separáveis:
. Aqui, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais de variáveis separáveis, que permite separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
do outro. Isso é o que chamamos de separar as variáveis.
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar as expressões. Lembrando que
, então:
Portanto, a equação fica:
Passo 4
Hora de integrar ambos os lados para achar a solução geral. Vamos começar pela integral da esquerda:
Para integrar
, podemos usar a identidade
:
Fazendo a substituição
, então
:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito:
Passo 6
Juntando as integrais dos dois lados, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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